Подскажите, подалуйста,как из Сухума самостоятельно добраться до монастыря в Новом Афоне.

Любая маршрутка, которая идёт в сторону Псоу

Выходите у ракушки (остановка так называется) и гуляете по Новому Афону. Там и водопад рядом, и станция Псырха.

Назад там же садитесь ехать обратно

Иногда местные подвозят. Но лучше сразу цену уточнить. Потому что кто-то бесплатно довезет, кто-то по цене маршрутки, а кто-то попытается содрать три цены 🙈 и такое было!